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Übungen: Sachaufgaben zu quadratischen Gleichungen

Auf dieser Seite übst du typische Sachaufgaben, bei denen quadratische Gleichungen oder Parabeln auftreten. Zu jeder Aufgabe gibt es eine kleine Skizze, eine passende Grafik und eine aufklappbare Lösung mit Rechenweg.

Wurfparabel: Höhe eines Balls in Abhängigkeit von der Zeit.

Aufgabe 1: Ballwurf

Ein Ball wird nach oben geworfen. Seine Höhe wird beschrieben durch h(t) = -5t² + 20t + 1

Bestimme, nach wie vielen Sekunden der Ball wieder den Boden erreicht.

Tipp: Der Ball ist am Boden, wenn seine Höhe \(h(t)\) gleich \(0\) ist.
Lösung anzeigen
  1. Setze die Höhe gleich 0: \(-5t² + 20t + 1 = 0\).
  2. Mit der Mitternachtsformel: \(a=-5\), \(b=20\), \(c=1\).
  3. Diskriminante: \(D = 20² - 4 \cdot (-5) \cdot 1 = 420\).
  4. \(t = \frac{-20 \pm \sqrt{420}}{-10}\).
  5. Die positive Lösung ist ungefähr \(t = 4{,}05\).
Der Ball landet nach ungefähr 4,05 Sekunden.
Brückenbogen als Parabel mit zwei Nullstellen.

Aufgabe 2: Brückenbogen

Ein Brückenbogen wird modelliert durch h(x) = -0,25x² + 3x

Bestimme die Breite des Bogens am Boden und die maximale Höhe.

Tipp: Für die Breite suchst du die Nullstellen. Für die maximale Höhe bestimmst du den Scheitelpunkt.
Lösung anzeigen
  1. Breite am Boden: \(-0{,}25x² + 3x = 0\).
  2. Klammer aus: \(x(-0{,}25x + 3) = 0\).
  3. Nullstellen: \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 12\). Die Breite beträgt also 12 m.
  4. Scheitel x-Wert: \(x_S = \frac{-b}{2a} = \frac{-3}{2 \cdot (-0{,}25)} = 6\).
  5. Höhe: \(h(6) = -0{,}25 \cdot 36 + 18 = 9\).
Der Bogen ist 12 m breit und maximal 9 m hoch.
Rechteckige Fläche: fester Zaun, veränderliche Seitenlängen.

Aufgabe 3: Gartenfläche

Mit 20 m Zaun soll ein rechteckiger Garten eingezäunt werden. Eine Seite sei \(x\) Meter lang. Dann ist die andere Seite \(10 - x\) Meter lang.

Die Fläche lautet A(x) = x(10 - x). Für welches \(x\) wird die Fläche maximal?

Tipp: Schreibe die Flächenfunktion als Parabel und bestimme den Scheitelpunkt.
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  1. Multipliziere aus: \(A(x) = -x² + 10x\).
  2. Die Parabel ist nach unten geöffnet, also liegt das Maximum im Scheitelpunkt.
  3. \(x_S = \frac{-b}{2a} = \frac{-10}{2 \cdot (-1)} = 5\).
  4. Die andere Seite ist \(10 - 5 = 5\).
  5. Maximale Fläche: \(A(5) = 5 \cdot 5 = 25\).
Die maximale Fläche entsteht bei einem Quadrat: 5 m × 5 m = 25 m².
Gewinnfunktion: Nullstellen und maximaler Gewinn.

Aufgabe 4: Gewinn eines Produkts

Der Gewinn eines Produkts kann modelliert werden durch G(x) = -2x² + 20x - 32

Bestimme, bei welchen Stückzahlen kein Gewinn entsteht und bei welcher Stückzahl der Gewinn maximal ist.

Tipp: Kein Gewinn bedeutet \(G(x)=0\). Der maximale Gewinn liegt im Scheitelpunkt.
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  1. Setze \(G(x)=0\): \(-2x² + 20x - 32 = 0\).
  2. Teile durch \(-2\): \(x² - 10x + 16 = 0\).
  3. Faktorisieren: \((x - 2)(x - 8) = 0\).
  4. Nullstellen: \(x_1 = 2\), \(x_2 = 8\).
  5. Scheitel x-Wert: \(x_S = \frac{-20}{2 \cdot (-2)} = 5\).
  6. Maximaler Gewinn: \(G(5) = -50 + 100 - 32 = 18\).
Kein Gewinn bei 2 und 8 Stück. Maximaler Gewinn bei 5 Stück: 18 GE.