Einführung
Scheitelpunktform
\( y = a \cdot (x - d)^2 + e \)
Normalform
\( y = a \cdot x^2 + b \cdot x + c \)
Um von der Scheitelpunktform in die Normalform zu gelangen, löst man zuerst die Klammer mit der binomischen Formel auf. Danach wird ausmultipliziert und am Ende werden gleichartige Terme zusammengefasst.
Beispiel für die Umwandlung
\( y = 3 \cdot (x + 2)^2 - 1 \)
| Klammer auflösen mithilfe der binomischen Formel
\( = 3 \cdot (x^2 + 4x + 4) - 1 \)
| Klammer ausmultiplizieren
\( = 3x^2 + 12x + 12 - 1 \)
| Zahlen zusammenfassen
\( = 3x^2 + 12x + 11 \)
Umwandlung: Scheitelpunktform → Normalform in drei Schritten
1. Klammer auflösen (binomische Formel)
\( (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \)
\( (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \)
2. Ausmultiplizieren (Distributivgesetz)
\( a \cdot (b + c) = ab + ac \)
3. Zahlen zusammenfassen
Schritt 1 ist immer notwendig. Schritt 2 und 3 können je nach Beispiel kürzer ausfallen.
Beispiel ohne eigenen Schritt 2
\( y = (x - 4)^2 - 5 \)
\( = x^2 - 8x + 16 - 5 \)
\( = x^2 - 8x + 11 \)
Beispiel ohne Schritt 3
\( y = -2 \cdot (x + 1)^2 \)
\( = -2 \cdot (x^2 + 2x + 1) \)
\( = -2x^2 - 4x - 2 \)
Interaktives Beispiel
Gib die Werte aus der Scheitelpunktform ein. Darunter siehst du den Rechenweg bis zur Normalform und in der Grafik liegen beide Darstellungen derselben Parabel übereinander.