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Einführung

Wenn der Scheitelpunkt einer Parabel und ein weiterer Punkt auf dem Graphen gegeben sind, kann man die Funktionsgleichung besonders gut mit der Scheitelpunktform aufstellen.

Scheitelpunktform

\( y = a \cdot (x - d)^2 + e \)

Der Scheitelpunkt ist \(S(d|e)\). Die Werte \(d\) und \(e\) kannst du deshalb direkt einsetzen. Der zusätzliche Punkt \(P(x|y)\) wird danach eingesetzt, um den Streckfaktor \(a\) zu berechnen.

Allgemeines Vorgehen

1. Scheitelpunkt einsetzen

\( S(d|e) \Rightarrow y = a \cdot (x - d)^2 + e \)

2. Punkt einsetzen

\( P(x_P|y_P) \Rightarrow y_P = a \cdot (x_P - d)^2 + e \)

3. Nach \(a\) auflösen

\( a = \dfrac{y_P - e}{(x_P - d)^2} \)

Wichtig: Der Punkt darf nicht genau der Scheitelpunkt sein. Sonst wird durch \(0\) geteilt und \(a\) lässt sich nicht bestimmen.

Beispiel

Gegeben: \( S(2|1) \) und \( P(4|9) \)

\( y = a \cdot (x - 2)^2 + 1 \)

| Scheitelpunkt einsetzen

\( 9 = a \cdot (4 - 2)^2 + 1 \)

| Punkt \(P(4|9)\) einsetzen

\( 9 = 4a + 1 \)

| Quadrat berechnen

\( 8 = 4a \)

| \(1\) abziehen

\( a = 2 \)

| durch \(4\) teilen

\( y = 2(x - 2)^2 + 1 \)

Interaktives Beispiel

Gib den Scheitelpunkt \(S(d|e)\) und einen Punkt \(P(x|y)\) auf dem Graphen ein. Die Seite berechnet daraus den Streckfaktor \(a\) und stellt die Funktionsgleichung auf.