Normalform → Scheitelpunktform
Die Normalform wird mithilfe der quadratischen Ergänzung in die Scheitelpunktform umgewandelt. Dabei ergänzt man einen Term so, dass ein vollständiges Quadrat entsteht. Danach kann man den Scheitelpunkt direkt ablesen.
Es sind zwei Fälle zu unterscheiden:
1. Der Streckfaktor ist \( a = 1 \): \( y = x^2 + b \cdot x + c \)
2. Der Streckfaktor ist \( a \neq 1 \): \( y = a \cdot x^2 + b \cdot x + c \)
Im zweiten Fall muss zuerst a bei den x-Termen ausgeklammert werden, damit in der Klammer wieder ein Term der Form \(x^2 + px\) entsteht.
1. Fall: \( a = 1 \)
| Allgemeines Vorgehen | Beispiel |
|---|---|
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Notiere den Term: \( y = x^2 + b \cdot x + c \) |
\( y = x^2 + 4x + 1 \) |
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Ergänze die Quadrate: \( y = x^2 + b \cdot x + \left(\frac{b}{2}\right)^2 - \left(\frac{b}{2}\right)^2 + c \) |
\( y = x^2 + 4x + (2)^2 - (2)^2 + 1 \) |
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Verwandle in ein Binom: \( y = \left(x + \frac{b}{2}\right)^2 - \left(\frac{b}{2}\right)^2 + c \) |
\( y = (x + 2)^2 - (2)^2 + 1 \) |
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Fasse zusammen: \( y = \left(x + \frac{b}{2}\right)^2 - \frac{b^2}{4} + c \) |
\( y = (x + 2)^2 - 3 \) |
Merke: Bei \(a = 1\) ergänzt man immer \(\left(\frac{b}{2}\right)^2\).
2. Fall: \( a \neq 1 \)
Beispiel: \( y = 2x^2 + 8x + 2 \)
\( y = 2x^2 + 8x + 2 \)| Klammere \(2\) nur bei den x-Termen aus
\( y = 2(x^2 + 4x) + 2 \)
| Halbiere den Koeffizienten von \(x\): \(\frac{4}{2} = 2\), dann quadriere: \(2^2 = 4\)
\( y = 2(x^2 + 4x + 4 - 4) + 2 \)
| Fasse die ersten drei Terme als Binom zusammen
\( y = 2((x + 2)^2 - 4) + 2 \)
| Multipliziere \(2\) wieder hinein
\( y = 2(x + 2)^2 - 8 + 2 \)
| Fasse die Zahlen zusammen
\( y = 2(x + 2)^2 - 6 \)
Merke: Bei \(a \neq 1\) wird zuerst ausgeklammert. Danach arbeitet man in der Klammer genauso wie im 1. Fall: Man halbiert den Koeffizienten vor \(x\) und quadriert das Ergebnis.
Interaktives Beispiel
Das Beispiel folgt derselben Idee wie oben. Du gibst eine Normalform ein und siehst, wie daraus Schritt für Schritt die Scheitelpunktform entsteht.