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Nullstellen quadratischer Funktionen — Tabelle & Berechnung

Vergleich der drei Darstellungsformen: Scheitelpunktform, Allgemeine Form und Normalform (p‑q‑Form). In der Tabelle findest du die Formel, die Rechenschritte und ein interaktives Beispiel.




Hinweis: Für jede Form zeigt die Tabelle die Rechenschritte, die verwendete Formel und ein konkretes Beispiel mit Ergebnis. Bei negativen Diskriminanten werden komplexe Nullstellen erklärt.
Form Allgemeine Vorgehensweise / Schritte Formel für Nullstellen Interaktives Beispiel (eingeben & berechnen)
Scheitelpunktform
\(f(x)=a(x-d)^2+e\)
  1. Setze \(f(x)=0\): \(a(x-d)^2+e=0\).
  2. Isoliere das Quadrat: \((x-d)^2 = -\dfrac{e}{a}\).
  3. Falls \(-\dfrac{e}{a} < 0\) → keine reellen Nullstellen (komplexe).
  4. Wurzel ziehen: \(x-d = \pm\sqrt{-\dfrac{e}{a}}\).
  5. Auflösen: \(x = d \pm \sqrt{-\dfrac{e}{a}}\).
\(x = d \pm \sqrt{-\dfrac{e}{a}}\)
Voraussetzung: \(a\neq 0\).
Aktuelle Werte: a=1, d=1, e=-2
Ergebnis: —
Allgemeine Form
\(ax^2 + bx + c = 0\)
  1. Berechne die Diskriminante: \(\Delta = b^2 - 4ac\).
  2. Fallunterscheidung:
    • \(\Delta > 0\): zwei verschiedene reelle Nullstellen.
    • \(\Delta = 0\): eine doppelte reelle Nullstelle.
    • \(\Delta < 0\): zwei komplexe Nullstellen.
  3. Nullstellen mit Mitternachtsformel: \(x = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}\).
\(x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)
Voraussetzung: \(a\neq 0\).
Aktuelle Werte: a=1, b=-3, c=2
Ergebnis: —
Normalform (p‑q‑Form)
\(x^2 + p x + q = 0\)
  1. Für \(x^2 + px + q = 0\) gilt die p‑q‑Formel.
  2. Berechne \( \left(\dfrac{p}{2}\right)^2 - q\).
  3. Nullstellen: \(x = -\dfrac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2 - q}\).
  4. Bei negativem Ausdruck entstehen komplexe Nullstellen.
\(x = -\dfrac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2 - q}\)
Diese Form entspricht der allgemeinen Form mit \(a=1\).
Aktuelle Werte: p=-3, q=2
Ergebnis: —

Kurze Hinweise